생존분석과 lifeline 패키지 활용 - LogRank, 카플란-마이어, 콕스비례위험모형

1. 생존분석이란

• 시간-이벤트 데이터(예: 생존 시간, 고장 시간 등)를 분석하는 데 사용됨
• 주요 목표는 생존 시간 분포를 추정하고, 생존 시간에 영향을 미치는 요인을 식별하며, 여러 그룹 간의 생존 시간을 비교하는것. 대표적인 방법으로 LogRank, 카플란-마이어 추정법, 콕스 비례위험 모형이 있다.

 

2.1. 카플란-마이어 추정법 (Kaplan-Meier Estimator)

• 특정 시간까지 이벤트가 발생하지 않을 확률(생존 함수)을 비모수적으로 추정하는 방법
• 각 시간 점에서 생존 확률을 계산하고, 이를 통해 전체 생존 곡선을 작성.
• 사건이 독립적이라는 가정이 있지만, 실제로는 이 가정이 항상 만족되지 않을 수 있음(실제로 병은 누적되는 대미지가 있으므로)

$ \hat{S}(t) = \prod_{t_i \leq t} \left(1 - \frac{d_i}{n_i}\right) $

 

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from lifelines import KaplanMeierFitter

# 예시 데이터 생성
data = {
    'duration': [5, 6, 6, 7, 8, 8, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 25],
    'event': [1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1]
}

df = pd.DataFrame(data)

# Kaplan-Meier Fitter 생성
kmf = KaplanMeierFitter()

# 생존 함수 적합
kmf.fit(durations=df['duration'], event_observed=df['event'])

# 생존 곡선 시각화
plt.figure(figsize=(10, 6))
kmf.plot_survival_function()
plt.title('Kaplan-Meier Survival Curve')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Survival Probability')
plt.grid(True)
plt.show()

• 결과해석
  • 시간에 따른 생존율을 알 수 있음(25 시간 단위에 최저)
  • 중위 생존시간은 13 시간단위로 추정됨

 

3.1. Log-Rank test

• 카플란 마이어 기법의 응용
• 두 그룹 간의 시간에 따른 생존율 차이를 검정하는 방법
• 각 시간 점에서 관찰된 사건 수와 기대 사건 수를 비교하여(카이제곱검정), 두 그룹의 생존 곡선이 통계적으로 유의미하게 다른지를 평가

 

$\chi^2 = \frac{(O_1 - E_1)^2}{V_1} + \frac{(O_2 - E_2)^2}{V_2}$

3.2. 실습

• 예시 데이터
  
  

import pandas as pd
from lifelines import KaplanMeierFitter
from lifelines.statistics import logrank_test

# 데이터 생성
data = {
    'group': ['A', 'A', 'A', 'A', 'A', 'B', 'B', 'B', 'B', 'B'],
    'duration': [6, 7, 10, 15, 23, 5, 8, 12, 18, 22],
    'event': [1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1]
}

df = pd.DataFrame(data)

# 두 그룹 나누기
groupA = df[df['group'] == 'A']
groupB = df[df['group'] == 'B']

# Kaplan-Meier Fitter 생성
kmf_A = KaplanMeierFitter()
kmf_B = KaplanMeierFitter()

# 생존 함수 적합
kmf_A.fit(durations=groupA['duration'], event_observed=groupA['event'], label='Group A')
kmf_B.fit(durations=groupB['duration'], event_observed=groupB['event'], label='Group B')

# Log-Rank 테스트 수행
results = logrank_test(groupA['duration'], groupB['duration'], event_observed_A=groupA['event'], event_observed_B=groupB['event'])
results.print_summary()

• 시각화 코드

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from lifelines import KaplanMeierFitter

# 데이터 생성
data = {
    'group': ['A', 'A', 'A', 'A', 'A', 'B', 'B', 'B', 'B', 'B'],
    'duration': [6, 7, 10, 15, 23, 5, 8, 12, 18, 22],
    'event': [1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1]
}

df = pd.DataFrame(data)

# 두 그룹 나누기
groupA = df[df['group'] == 'A']
groupB = df[df['group'] == 'B']

# Kaplan-Meier Fitter 생성
kmf_A = KaplanMeierFitter()
kmf_B = KaplanMeierFitter()

# 생존 함수 적합
kmf_A.fit(durations=groupA['duration'], event_observed=groupA['event'], label='Group A')
kmf_B.fit(durations=groupB['duration'], event_observed=groupB['event'], label='Group B')

# 생존 곡선 시각화
plt.figure(figsize=(10, 6))
kmf_A.plot_survival_function()
kmf_B.plot_survival_function()
plt.title('Kaplan-Meier Survival Curves')
plt.xlabel('Time (months)')
plt.ylabel('Survival Probability')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

 

• 결과해석
  • 테스트 통계량은 0.46 p-value는 0.50로 귀무가설(두 그룹 간의 생존 곡선에 유의미한 차이가 없다)를 기각하지 못함
  • 따라서 그룹 A와 그룹 B의 생존 시간이 통계적으로 유의미하게 다르지 않음을 결론 지을 수 있음

 

 

4.1. 콕스 비례 위험 모형 (Cox Proportional Hazards Model)

• 카플란마이어 추정법은 사건이 독립적이라는 가정의 한계 따라서 시간에 따른 사건 발생 위험률(위험 함수)을 모델링
• 공변량(독립변수)이 시간에 따라 비례적으로 위험률에 영향을 미친다는 가정
• 기준 위험률와 공변량의 선형 결합을 지수 함수 형태로 결합하여 위험률을 표현
  
  • 기준위험률($\lambda_0(t)$): 시간 $t$ 기준 위험률로 공변량의 영향을 제거한 상태의 기본적인 위험률
  • 공변량(Covariates, $X$): 사건 발생에 영향을 미칠 수 있는 변수들
• 시간-의존적 위험률을 모델링할 수 있으며, 공변량이 생존 시간에 미치는 영향을 평가하는 데 유용

 

$\lambda(t \mid X) = \lambda_0(t) \exp(\beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \cdots + \beta_p X_p)$

4.2. 코드 전개

import pandas as pd
from lifelines import CoxPHFitter
import matplotlib.pyplot as plt

# 예시 데이터 생성
```
duration: 환자가 생존한 기간(개월 수)
event: 사건 발생 여부(1 = 사망, 0 = 생존)
age: 환자의 나이
treatment: 치료 방법(0 = 치료 A, 1 = 치료 B)
```
data = {
    'duration': [5, 6, 6, 7, 8, 8, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 25, 5, 7, 12, 13, 14, 16, 20],
    'event': [1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1],
    'age': [50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85],
    'treatment': [0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1]
}

df = pd.DataFrame(data)

# 콕스 비례 위험 모형 적합
cph = CoxPHFitter()
cph.fit(df, duration_col='duration', event_col='event')

# 모형 요약 출력
cph.print_summary()

# 생존 곡선 시각화
cph.plot()
plt.title('Hazard Ratios')
plt.show()

 

•  결과해석
  • age 회귀계수는 -0.11 으로 나이가 증가할 수록 사건의 발생 위험 감소가 감소한다고 해석할 수 있음. 실제로는 exp(-0.11) = 0.89이므로 나이가 1년 증가함에 따라 사망확률이 약 10%씩 감소
  • treatment 치료여부는 회귀계수는 -1.41이로 치료를 받은 경우 사건 발생률이 감소한다는 것을 의미함.  exp(-1.11) = 0.24이므로 치료를 받은 경우 사망확률이 약 76%씩 감소
  • 그래프의 경우 x축은 로그 위험비(log Hazard ratio)를 뜻하며 위험비의 추정값을 말한다. 0보다 작으면 사망위험확률을 낮춰준다고 해석할 수 있으며  age, treatment는 모두 사건 발생비율을 감소시킨다. 
  • 신뢰구간의 경우 좁을 수록 신뢰도가 높은데 치료의 경우 신뢰구간이 매우 넓어 불확실성이 크다. 

5. 최종 정리

• 생존 분석: 다양한 모델링 기법을 포함하는 광범위한 분야로, 시간-이벤트 데이터를 분석
• 카플란-마이어 추정법: 특정 시간까지 이벤트가 발생하지 않을 확률을 추정하는 방법입니다. 사건이 독립적이라는 가정
• Log-Rank 테스트: 두 그룹 간의 시간에 따른 생존율 차이를 검정
• 콕스 비례 위험 모형: 시간에 따른 위험을 모델링하며, 공변량이 시간에 따라 비례적으로 위험률에 영향을 미친다는 가정을 기반

6. SQL 로 생존분석하기

https://www.crosstab.io/articles/sql-survival-curves/

Brian Patrick Kent - How to compute Kaplan-Meier survival curves in SQL

https://sticky-ai.github.io/survival%20analysis/2020/07/29/survival_analysis_kaplan_meier/

Survival Analysis. 카플란-마이어 추정 (Kaplan Meier Estimation)